הסתברות/מבוא/הסתברות מותנית/תרגילים

		הדף נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה אתם מתבקשים שלא לערוך ערך זה בטרם תוסר הודעה זו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניחי התבנית.
		אם הדף לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך רצוי לתת קודם תזכורת בדף שיחת הכותבים.	שיחה

הסתברות מותנית היא הסתברות

הוכח את משפט:הסתברות מותנית היא הסתברות.

$\mathbb {P} (\Omega |B)={\frac {\mathbb {P} (\Omega \cap B)}{\mathbb {P} (B)}}=1$

$\mathbb {P} (A|B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}$

$0\leq {\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}\leq {\frac {\mathbb {P} (B)}{\mathbb {P} (B)}}=1$

$\mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}|B)={\frac {\mathbb {P} {\big (}(A_{1}\cup A_{2})\cap B{\big )}}{\mathbb {P} (B)}}={\frac {\mathbb {P} {\big (}(A_{1}\cap B)\cup (A_{2}\cap B){\big )}}{\mathbb {P} (B)}}={\frac {\mathbb {P} (A_{1}\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}+{\frac {\mathbb {P} (A_{2}\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}=\mathbb {P} (A_{1}|B)+\mathbb {P} (A_{2}|B)$

הסתברות מותנית של משלים

הוכח את משפט:הסתברות מותנית של משלים.

$\mathbb {P} (B){\big (}\mathbb {P} (A|B)+\mathbb {P} (A^{c}|B){\big )}=\mathbb {P} (A\cap B)+\mathbb {P} (A^{c}\cap B)=\mathbb {P} ((A\cup A^{c})\cap B)=\mathbb {P} (B)$

התוצאה מתקבלת מחלוקת כל האגפים ב- $\mathbb {P} (B)$ .

מכונית תקועה בצד הדרך

מכונית תקועה בצד הדרך. מחצית מהאנשים העוברים בדרך יבחינו במכונית; מחצית מהאנשים אכפתיים מספיק כדי לעצור ליד המכונית; ולמחצית מהאנשים יש ידע טכני מספיק כדי לסייע. ידוע שאין קשר בין ידע טכני, מידת אכפתיות או הבחנה. אדם שעבר בדרך לא חילץ את המכונית. מה ההסתברות לכך שזהו אדם אכפתי?

המאורע $A$ הוא "האדם שעבר הוא אכפתי", והמאורע $B$ הוא "המכונית לא חולצה". המאורע $A\cap B$ הוא "האדם שעבר הוא אכפתי, והמכונית לא חולצה". אדם אכפתי לא יחלץ את המכונית במקרים הבאים: אם הוא לא מבחין במכונית (הסתברות ${\tfrac {1}{4}}$ , שכן חצי מהאנשים אכפתיים וחצי מהאנשים אינם מבחינים); ואם הוא מבחין במכונית אך איננו בעל כישורים טכניים (הסתברות ${\tfrac {1}{8}}$ , שכן רבע מהאנשים האכפתיים גם מבחינים במכוניות וגם בעלי כישורים טכניים). לכן ההסתברות שאדם אכפתי לא יעזור היא $P(A\cap B)={\frac {3}{8}}$ . בחישוב הסתברות המאורע $B$ , נחשב ראשית את ההסתברות שאדם אקראי יעזור (כלומר יבחין, יהיה אכפתי ויהיה בעל כישורים טכניים), שהיא $\left({\tfrac {1}{2}}\right)^{3}={\tfrac {1}{8}}$ , ולכן ההסתברות שאדם אקראי לא יעזור היא ${\tfrac {7}{8}}$ , כלומר $P(B)={\frac {7}{8}}$ , ומכאן בהתאם לנוסחא:

$P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}={\frac {\frac {3}{8}}{\frac {7}{8}}}={\frac {3}{7}}$