הסתברות/פונקציות של וקטורים אקראיים

תוחלת של טרנספורמציה

משפט: תוחלת של פונקציה של וקטור יהי $\ {\vec {X}}=(X_{1},...,X_{n})$ וקטור אקראי בעל פונקצית הצפיפות $\ f_{\vec {X}}(x_{1},...,x_{n})$, ותהי h טרנספורמציה $\ h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$. אז התוחלת של $\ Y=h(X_{1},...,X_{n})$ היא: $\ \mathbb {E} Y=\int \limits _{-\infty }^{\infty }...\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(X_{1},...,X_{n})f_{\vec {X}}(x_{1},...,x_{n})dx_{1}...dx_{n}$. במקרה הדיסקרטי: אם Y מקבל את הערכים הבדידים $\ {\vec {X}}_{i}$ בהסתברות pi, אז התוחלת של Y היא: $\ \mathbb {E} Y=\sum h({\vec {X}}_{i})p_{i}$.

תכונות

• תוחלת של סכום היא תמיד סכום התוחלות (כאשר הן קיימות): $\ \mathbb {E} (X+Y)=\mathbb {E} X+\mathbb {E} Y$.
• עבור מ"מ בלתי-תלויים, תוחלת של מכפלה היא מכפלת התוחלות: $\ \mathbb {E} XY=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y$.

דוגמאות

• יהיו X,Y מ"מ בלתי תלויים. נתון כי $\ \mathbb {E} X<\infty \ ,\ \mathbb {E} Y<\infty$. הוכח כי $\ \mathbb {E} XY=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y$.

פתרון: נשתמש בהגדרת התוחלת ואז (בזכות אי התלות) נפרק את פונקצית הצפיפות המשותפת לפונקציות הצפיפות השוליות:

$\ \mathbb {E} XY=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }xyf_{X,Y}(x,y)dxdy=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)yf_{Y}(y)dxdy=$

$\ =\int \limits _{-\infty }^{\infty }xf_{X}(x)dx\int \limits _{-\infty }^{\infty }yf_{Y}(y)dy=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y$

• יהיו X,Y ו"א בלתי תלויים כך ש- $\ X,Y\sim U[0,1]$. מהי התוחלת ומהי השונות של שטח המלבן הנוצר על ידי הנקודות (X,Y),(0,0)?

פתרון: נגדיר $\ S=XY$ כשטח המלבן ואז:

$\ \mathbb {E} S=\mathbb {E} (XY)=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}xyf_{X}(x)f_{Y}(y)dxdy=\int \limits _{0}^{1}xf_{X}(x)dx\int \limits _{0}^{1}yf_{Y}(y)dy=\mathbb {E} X\mathbb {E} Y={1 \over 4}$

שימו לב כי קיבלנו שהמשתנים בלתי תלויים, אבל זה לא מפתיע כי הקטעים המגדירים את התחום מקבילים לצירים.

כעת נחשב את השונות:

$\ VarS=\mathbb {E} S^{2}-(\mathbb {E} S)^{2}=\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}x^{2}y^{2}dxdy-\left({1 \over 4}\right)^{2}={1 \over 9}-{1 \over 16}={7 \over 144}$

פונקציות של וקטורים אקראיים

משפט: פונקציה של וקטור אקראי אם $\ h:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ חח"ע וגזירה ו- $\ \left|{\partial x_{1},...,x_{n} \over \partial h_{1},...,h_{n}}\right|\neq 0$ לכל $\ {\vec {X}}\in \mathbb {R} ^{n}$, אז הצפיפות של Y היא: $\ f_{\vec {Y}}(y_{1},...,y_{n})=\left|{\partial x_{1},...,x_{n} \over \partial h_{1},...,h_{n}}\right|f_{\vec {X}}(h^{-1}(y_{1},...,y_{n}))$

דוגמאות

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

-

פונקציות של וקטורים אקראיים

-