הסתברות/פונקציות של וקטורים אקראיים

תוחלת של טרנספורמציהעריכה

משפט: תוחלת של פונקציה של וקטור

יהי   וקטור אקראי בעל פונקצית הצפיפות  , ותהי h טרנספורמציה  . אז התוחלת של   היא:  .
במקרה הדיסקרטי: אם Y מקבל את הערכים הבדידים   בהסתברות pi, אז התוחלת של Y היא:  .


תכונותעריכה

  • תוחלת של סכום היא תמיד סכום התוחלות (כאשר הן קיימות):  .
  • עבור מ"מ בלתי-תלויים, תוחלת של מכפלה היא מכפלת התוחלות:  .

דוגמאותעריכה

  • יהיו X,Y מ"מ בלתי תלויים. נתון כי  . הוכח כי  .
פתרון: נשתמש בהגדרת התוחלת ואז (בזכות אי התלות) נפרק את פונקצית הצפיפות המשותפת לפונקציות הצפיפות השוליות:
 
 
  • יהיו X,Y ו"א בלתי תלויים כך ש-  . מהי התוחלת ומהי השונות של שטח המלבן הנוצר על ידי הנקודות (X,Y),(0,0)?
פתרון: נגדיר   כשטח המלבן ואז:
 
שימו לב כי קיבלנו שהמשתנים בלתי תלויים, אבל זה לא מפתיע כי הקטעים המגדירים את התחום מקבילים לצירים.
כעת נחשב את השונות:
 

פונקציות של וקטורים אקראייםעריכה

משפט: פונקציה של וקטור אקראי

אם   חח"ע וגזירה ו-   לכל  , אז הצפיפות של Y היא:

 


דוגמאותעריכה

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.


- פונקציות של וקטורים אקראיים -