הסתברות/iid

אוסף של משתנים מקריים אשר לכל אחד מהם פונקצית הסתברות זהה, והם בלתי-תלויים, נקרא "סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ומפולגים זהה" - בתמ"ז (iid - independent and identically distributed).

סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים ומפולגים זהה

כאשר מניחים שתצפית כלשהי היא סדרת מ"מ בתמ"ז, הטיפול המתמטי פשוט יותר, אך במקרים רבים הנחה זו אינה מציאותית.

אם למשל נגדיר את X_i בתור תוצאת הרולטה ה-i-ית, מבחינה מעשית X_i הם בתמ"ז, כי בכל סיבוב הסיכוי של כל מספר הוא זהה, ואין שום תלות בתוצאה שהתקבלה בכל הניסויים הקודמים.

הגדרה: לכל $\ 0\leq i\leq n$ נגדיר: $\ \mathbb {E} X_{i}=\mu \ ,\ VarX_{i}=\sigma ^{2}$ ונניח שהם קיימים וסופיים.

סכום של מ"מ בתמ"ז

הגדרה: סכום מ"מ בתמ"ז $\ S_{n}=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}$

הסכום הנ"ל הוא למעשה קונבולוציה n פעמים.

1. התוחלת של S_n:
   מלינאריות התוחלת: $\ \mathbb {E} S_{n}=\mathbb {E} \sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}=\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {E} X_{i}=n\mu$
2. השונות של S_n:
   עקב אי-תלות: $\ Var(S_{n})=Var\left(\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}Var(X_{i})=n\sigma ^{2}$
3. התוחלת של הממוצע $\ {S_{n} \over n}$:
   מלינאריות התוחלת: $\ \mathbb {E} {S_{n} \over n}={\mathbb {E} S_{n} \over n}={n\mu \over n}=\mu$
4. השונות של הממוצע $\ {S_{n} \over n}$:
   עקב אי-תלות: $\ Var\left({S_{n} \over n}\right)={Var(S_{n}) \over n^{2}}={n\sigma ^{2} \over n^{2}}={\sigma ^{2} \over n}$

שימו לב כי ככל ש-n גדל, השונות הולכת וקטנה פי n אך μ נשאר אותו הדבר. במילים אחרות, עבור n-ים גדולים, הממוצע רגיש פחות ופחות לשינויים.

דוגמאות

• הפילוג המעריכי מהווה קירוב טוב לזמן חיים של נורה. אם $\ X_{i}\sim Exp(\lambda )$ הוא זמן החיים של הנורה ה-i-ית, אז $\ S_{n}\sim \Gamma (n,\lambda )$ הוא התפלגות זמן החיים של n הנורות הראשונות.

(להשלים: עוד דוגמאות)

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: iid (בויקיפדיה האנגלית)

-

iid

-