הסתברות/חוק המספרים הגדולים

חוק המספרים הגדולים עוסק בממוצע של תוצאות ניסויים (מדגמים) רבים.

חוק המספרים הגדולים החלש

משפט: חוק המספרים הגדולים החלש תהי {Xi} סדרת מ"מ בתמ"ז, בעלי תוחלת μ ושונות σ2. אז לכל δ>0 מתקיים: $\ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(\left|{S_{n} \over n}-\mu \right|{\color {Red}>}\delta \right)={\color {Red}0}$ או לחילופין: $\ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(\left|{S_{n} \over n}-\mu \right|{\color {Blue}<}\delta \right)={\color {Blue}1}$. כלומר עבור n-ים גדולים, ההסתברות שהממוצע יחרוג מהתוחלת שואפת לאפס.

הגדרה: התכנסות בהסתברות נאמר שסדרת המ"מ Un מתכנסת-בהסתברות ל-a אם ורק אם: $\ \mathbb {P} (|U_{n}-a|>\delta )\to 0\ ,\ \forall \delta >0$.

כלומר המשפט קובע כי הממוצע מתכנס-בהסתברות לתוחלת.

בדומה, לגבי הפונקציה האופיינית נגדיר:

הגדרה: התכנסות בהתפלגות נאמר שסדרת המ"מ Un מתכנסת-בהתפלגות למ"מ a אם ורק אם: $\ \phi _{U_{n}}(s)\to \phi _{a}(s)\ ,\ \forall s$.

נפגוש מושג זה בפיתוח משפט הגבול המרכזי.

הוכחה

על פי אי שוויון צ'בישב:

$\ 0\leq \mathbb {P} \left(\left|{S_{n} \over n}-\mu \right|>\delta \right)\leq {Var\left({S_{n} \over n}\right) \over \delta ^{2}}={\sigma ^{2} \over \delta ^{2}n}$

ולכן:

$\ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(\left|{S_{n} \over n}-\mu \right|>\delta \right)=\lim \limits _{n\to \infty }{\sigma ^{2} \over \delta ^{2}n}=0$

חוק המספרים הגדולים החזק

משפט: חוק המספרים הגדולים החזק תהי {Xi} סדרת מ"מ בתמ"ז, בעלי תוחלת μ ושונות σ2. אז $\ \lim \limits _{n\to \infty }{S_{n} \over n}=\mu$ בוודאות (בהסתברות 1). כלומר הממוצע מתכנס בוודאות עבור n-ים גדולים, וגבולו שווה לתוחלת.

המשפט מתקיים גם אם לא מדובר במ"מ מפולגים זהה, ובלבד שיש להם אותה תוחלת ושסדרת השונויות מקיימת את תנאי קולמוגורוב: הטור $\ \sum {\frac {V(X_{n})}{n^{2}}}$ מתכנס.

שימו לב כי מהחוק החזק ניתן להסיק את החוק החלש, וכי החוק החזק עצמו הוא גרסה חלשה של משפט הגבול המרכזי.

הוכחה

(להשלים)

דוגמאות

• תהי X_i סדרת מ"מ בתמ"ז בעלי פונקצית ההתפלגות:

$\ F_{X_{i}}(x)={\begin{cases}0,&x<0\\{1 \over 2}+{x^{2} \over 2},&0\leq x<1\\1,&x\geq 1\end{cases}}$.

עבור איזה ערך של a מתקיים:

$\ \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {P} \left(\left|{\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i} \over n}-a\right|>\epsilon \right)=0$ ..?

פתרון:שימו לב כי פונקצית ההתפלגות אינה רציפה ובעלת קפיצה בגודל 0.5 בראשית. ואם אכן נגזור ללא זהירות על מנת לקבל את פונקצית הצפיפות, אינטגרציה בתחום תתן 0.5 בלבד, כך שיחד עם הקפיצה מקבלים 1. כעת, על פי כלל המספרים הגדולים, a הוא התוחלת של X_i. נשתמש בהגדרה החלופית של התוחלת, עבור מ"מ חיובי:

$\ \mathbb {E} X_{i}=\int \limits _{0}^{\infty }(1-F_{X}(x))dx={1 \over 3}$

שימו לב כי אינטגרציה על פני $\ xf_{X}^{c}(x)$ הייתה נותנת גם כן שליש, מכיוון שעל פי הגדרת התוחלת עבור מ"מ בדיד, $\ \mathbb {E} X^{d}=\sum x\mathbb {P} (X=x)$, אבל מאחר והקפיצה היא בראשית, התרומה שלה לחישוב התוחלת מתבטלת.

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: חוק המספרים הגדולים

-

חוק המספרים הגדולים

-