הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים רציפים/התפלגות נורמלית

התפלגויות רציפות התפלגות יוניפורמית התפלגות אקספוננציאלית התפלגות נורמלית

אינטואיטיבית, התפלגות נורמלית (התפלגות גאוסית) היא ההתפלגות של ממוצע של מ"מ אחרים תחת הנחות קלות למדי. היא אחת ההתפלגויות החשובות ביותר, ומופיעה רבות בטבע.

נורמלי: $\ X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$

פונקצית התפלגות
פונקצית צפיפות
פרמטרים	$\ \mu ;\sigma ^{2}>0$
תומך	$\ x\in (-\infty ,+\infty )$
פונקצית התפלגות	$\ \int \limits _{-\infty }^{x}{1 \over {\sqrt {2\pi }}}e^{-{x^{2} \over 2}}$
פונקצית צפיפות	$\ {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)$
תוחלת	$\ \mu$
חציון	$\ \mu$
שונות	$\ \sigma ^{2}$
פונקציה יוצרת מומנטים	$\ \exp \left(\mu \,s+{\frac {\sigma ^{2}s^{2}}{2}}\right)$
פונקציה אופיינית	$\ \exp \left(\mu \,i\,s-{\frac {\sigma ^{2}s^{2}}{2}}\right)$

פעמון גאוס תקני

הגדרה: התפלגות נורמלית (התפלגות גאוסית) נאמר כי מ"מ $X$ הוא בעל התפלגות נורמלית אם $f_{X}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left({\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right),$ כאשר $\mu$ ו-$\sigma$ הם התוחלת וסטיית התקן (מושגים שנראה בהמשך) של $X$. נכתוב $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$. אם $\ X\sim N(0,1)$ אז $X$ בעל התפלגות נורמלית תקנית (או גאוסית תקנית).

מתרשים הצפיפות בצד שמאל אפשר לראות שלצפיפות יש צורת פעמון. בהמשך הספר נראה כי הפרמטר $\mu$ הוא הערך שעבורו מקבל הפעמון את המקסימום, והפרמטר $\sigma ^{2}$ קובע את רוחב הפעמון.

תרגיל : נניח כי $X\sim N(0,\sigma ^{2})$. נגדיר מ"מ חדש $\ Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$. בהמשך הקורס, וודא כי הנך מבין מדוע $\ Z\sim N(0,1)$.

פונקציית ההתפלגות המצטברת

פונקציית ההתפלגות המצטברת מוגדרת, כבשאר המ"מ הרציפים, לפי

$F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(y)dy,$

ובמקרה זה,

$F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{\frac {-(y-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}dy.$

למרבה הצער, אין לאינטגרל זה פתרון סגור. מה עושים, אם כן?

ראשית, נגדיר

$\ \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-(y)^{2}}{2}}dy$

כהתפלגות המצטברת של מ"מ נורמלי תקני $X\sim N(0,1)$. נראה כי בעזרת ערכי $\phi (x)$ אפשר לחשב את ההתפלגות המצטברת של כל מ"מ גאוסי אחר.

משפט: נניח מ"מ $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$. אז $F_{X}(x)=\phi \left({x-\mu \over \sigma }\right).$

הוכחה: לפי הגדרה, $F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leq x)$. נגדיר מ"מ חדש $\ Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}$. נשים לב כי המ"מ מתפלג $\ Z\sim N(0,1)$. נשים לב גם כי

$\ \mathbb {P} (X\leq x)=\mathbb {P} \left({\frac {X-\mu }{\sigma }}\leq {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)=\mathbb {P} \left(Z\leq {\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$

הביטוי האחרון הנו בדיוק

$\ \Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)$

מהמשפט הקודם נובע כי מספיק לדעת את ערכי $\Phi$ עבור ערכי $x$ שונים. מסיבה זו אפשר למצוא טבלאות של ערכי פונקציה זו. למעשה, הטבלאות מכילות לרוב רק את ערכי $\Phi$ עבור ערכי $x$ לא שליליים, וזאת משום שהפונקציה $\Phi$ הנה סימטרית.

תרגיל : הראה כי $\ \Phi (-x)=1-\Phi (x)$.

ראו גם

ערך בוויקיפדיה: התפלגות נורמלית

-

התפלגות נורמלית

-