חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הגדרת הגבול

חשבון אינפיניטסימלי

הגדרה: מספר ממשי $L$ ייקרא הגבול של סדרה $a_{n}$ אם בכל סביבה של $L$ נמצאים כל אברי הסדרה פרט למספר סופי של אברים ומסומן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ או $a_{n}\to L$ אם הגבול $L$ קיים וסופי נאמר שהסדרה $a_{n}$ מתכנסת לגבול $L$ , אם לא קיים מספר $L$ סופי כזה נאמר שהסדרה מתבדרת

הגדרת הגבול אכן פורמלית למדי, אך היא מבוססת על הגיון מתמטי - ואינה סתומה כפי שהיא אולי נראית בתחילה.

ראשית ניזכר בהגדרה של סביבה, סביבה היא קטע פתוח סימטרי סביב נקודה מסוימת. למשל - סביבה בגודל $\varepsilon$ של $L$ מוגדרת על-ידי הקטע $(L-\varepsilon ,L+\varepsilon )$ , כלומר קבוצת כל המספרים שההפרש בינם לבין $L$ קטן מ- $\varepsilon$ . ההגדרה מדברת על כל סביבה של $L$ , ומכיון שלא מוגדרת סביבה בגודל אפס הרי שהכוונה היא לכל סביבה כך ש- $\varepsilon >0$ . ההגדרה דורשת כי בכל סביבה כזו יהיו מרוכזים כל אברי הסדרה, אך מתירה לנו להשאיר מספר אברים סופי מחוץ לסביבה, תנאי זה מבטיח שהסדרה אכן מתקרבת ל- $L$ - אבל מדוע? כדי לענות על שאלה זו נסתכל על מספר סדרות שאינן מתכנסות -

• $1,2,3,\dots$ - ניתן לראות בבירור שהסדרה הזו איננה מתקרבת למספר מסוים, אלא הולכת וגדלה בקצב קבוע. אך לצורך הדוגמא נניח כי אנחנו חושבים שהסדרה מתכנסת למספר גדול, נניח - $1000000$ , עכשיו נבחן את הסדרה על-פי ההגדרה - האם בכל סביבה של $1000000$ נמצאים כל אברי הסדרה פרט למספר סופי של אברים? נתחיל מסביבה בגודל $1$ , כלומר טווח המספרים בין $999999$ ל- $1000001$ . נראה שכל האברים עד האבר ה- $1000000$ נמצאים מחוץ לסביבה שבחרנו, אבל זה עדיין לא מפריע לנו, כי מדובר בסך הכל ב- $999999$ אברים - וזהו מספר סופי, האבר המיליון, $a_{1000000}$ שווה בדיוק $1000000$ והוא נמצא בסביבה, אך כל המספרים הבאים אחריו כבר גדולים מדי - ולא נמצאים בסביבה, וכיון שאחרי המספר $1000000$ קיימים עוד אינסוף אברים בסדרה.

קיימת סביבה של $1000000$ שמחוץ לה נמצאים אינסוף מאברי הסדרה - ולכן הסדרה לא מתכנסת למיליון. הדוגמא הזו אמנם נראית טפשית - אך חשוב להבין אותה ואת הלוגיקה שבה פעלנו כדי להוכיח ש- $1000000$ אינו הגבול של הסדרה, כיון שאותה הלוגיקה תשמש אותנו בהמשך לדוגמאות מסובכות בהרבה. באותה צורה ניתן לבחור במקום $1000000$ כל מספר ממשי שנרצה, ולבצע את אותה ההוכחה - לכן הסדרה שלפנינו אינה מתכנסת (למעשה היא מתכנסת לאינסוף, אך טרם הגדרנו גבול אינסופי).

• $1,0,1,0,\dots$ בסדרה זו כל אבר אי-זוגי הוא $1$, וכל אבר זוגי הוא 0. כיון שבסדרה יש אינסוף מספרים זוגיים לכאורה ניתן לומר כי על-פי ההגדרה הסדרה מתכנסת ל-0, שכן בכל סביבה של 0 קיימים אינסוף מאברי הסדרה ($a_{2}=a_{4}=\dots =a_{2n}=0$) אבל! זו היא לא ההגדרה - ההגדרה דורשת שלכל סביבה של 0 כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של אברים יהיו בתוך הסביבה. אבל אם ניקח סביבה בגודל ${\frac {1}{2}}$ , כלומר טווח המספרים שבין ${\frac {1}{2}}$ ל- $-{\frac {1}{2}}$ , נראה שקיימים אינסוף מאברי הסדרה מחוץ לסביבה - כל האיברים האי-זוגיים שערכם $1$ .

הסדרה לא מתכנסת ל-0 - אך אולי היא מתכנסת למספר אחר? בהינתן מספר $L\neq 0$ ניקח סביבה בגודל ${\frac {L}{2}}$ , זו היא הסביבה

$\left({\frac {L}{2}},{\frac {3L}{2}}\right)$ ויש אינסוף אברים (כל האברים האי-זוגיים, אלו שערכם 0) שנמצאים מחוץ לסביבה זו - כלומר הסדרה לא מתכנסת ל-0, אך גם לא מתכנסת לאף מספר השונה מ-0 - ולכן ניתן לומר שהסדרה $1,0,1,0,\dots$ אינה מתכנסת.

ראינו איך ניתן להראות מהגדרת הגבול כי סדרות מסוימות אינן מתכנסות לגבול, אך קשה יותר להראות באמצעות ההגדרה כי סדרה מסוימת מתכנסת, על-מנת לעשות זאת נשתמש בניסוח שונה מעט של הגדרת הגבול -

הגדרה: הגבול של סדרה, $L=\lim _{n\to \infty }a_{n}$ קיים אם לכל $\varepsilon >0$ קיים מספר $k$ ממשי, כך שלכל $n>k$ מתקיים $|a_{n}-L|<\varepsilon$

הגדרה זו שקולה להגדרת הגבול. בהגדרה המקורית נדרש כי לכל סביבה של $L$ יהיו כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של אברים. בהגדרה זו הסביבה מוגדרת במפורש על-ידי $\varepsilon$ , ונדרש שהחל מ-$k$ מסוים כל אברי הסדרה יהיו בסביבה זו. לכן קיימים לכל היותר $k$ אברים שאינם נמצאים בסביבה הרצויה, ומכיון שההגדרה דורשת קיומו של $k$ כזה מספרם הוא סופי. נראה כי הדרישה כי $a_{n}$ יהיה בסביבה $\varepsilon$ של $L$ זהה לדרישה כי $|a_{n}-L|<\varepsilon$

$L-\varepsilon <a_{n}<L+\varepsilon$
$-\varepsilon <a_{n}-L<\varepsilon$
$|a_{n}-L|<\varepsilon$

כעת נבחן מספר סדרות המתכנסות לגבול -

• $0,0,0,\dots$ - זו היא סדרה שבה $a_{n}=0$ ללא תלות ב- $n$ , כלומר סדרה שבה יש אינסוף אפסים. זה בהחלט נראה מובן מאליו שהסדרה הזו שאופת ל-0, אך אנחנו עדיין צריכים להוכיח. נוכיח שגבול הסדרה הוא $0$ - לכל $\varepsilon >0$ קיים $k=0$ כך שלכל $n>k$ יתקיים

$a_{n}-0<\varepsilon$

למעשה פשוט חזרנו על הגדרת הגבול, כאשר בשלב האחרון הראינו כי על-פי הגדרת הסדרה $a_{n}=0$ ועל-פי הגדרת אפסילון מתקיים $\varepsilon >0$ ומכאן נובע שהגדרת הגבול מתקיימת עבור $L=0$ - כלומר הסדרה מתכנסת ל-0.

• $1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots$ . זוהי הסדרה עם האבר הכללי $a_{n}={\frac {1}{n}}$

כפי שכבר ציינו בתחילת הפרק גם הסדרה הזו מתכנסת ל-0, וגם זה כנראה ברור באופן אינטואיטיבי - אך ההוכחה כאן מתקדמת צעד אחד קדימה. לכל $\varepsilon >0$ קיים $k={\frac {1}{\varepsilon }}$ כך שלכל $n>k$ יתקיים

$|a_{n}-L|=\left|{\frac {1}{n}}-0\right|=\left|{\frac {1}{n}}\right|={\frac {1}{n}}<{\frac {1}{k}}=\varepsilon$

כלומר - $|a_{n}-L|<\varepsilon$ ולכן הסדרה מתכנסת ל-0.

הרעיון החדש בהוכחה זו היא הצורה שבה בחרנו את $k$ - שימו לב ש- $k$ תלוי ב- $\varepsilon$ (כלומר $k$ הוא פונקציה של $\varepsilon$ , ולכן לעתים מסומן $k_{\varepsilon }$ או $k(\varepsilon )$).

שימו לב: מותר לבחור את $k$ כפונקציה של $\varepsilon$ בגלל האופן שבו מנוסחת הגדרת ההתכנסות - "לכל $\varepsilon$ קיים $k$ ..." אילו ההגדרה היתה מנוסחת "קיים $k$ כך שלכל $\varepsilon$ ..." היה עלינו להגדיר $k$ שאינו תלוי ב- $\varepsilon$

בעמוד זה הצגנו את מושג הגבול באופן כללי, הגדרנו את הגבול באופן פורמלי והצגנו דוגמאות בסיסיות לסדרות מתבדרות ומתכנסות. כפי שציינו בתחילת הפרק ההגדרה של מושג הגבול אינה אינטואיטיבית ופעמים רבות מהווה מכשול בלימודי החשבון האינפיניטסימלי, מומלץ לעבור שוב על ההגדרה, הדוגמאות ובמיוחד על האופן שבו השתמשנו בהם לפני שממשיכים לתת הפרק הבא, שכן הוא מבוסס על ההגדרה ויתן לנו כלים נוספים לנתח התכנסות של סדרות.

הגדרת הגבול לפי קושי

משפט: קריטריון קושי להתכנסות סדרה $\{a_{n}\}$ מתכנסת לגבול סופי אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $k$ כך שלכל $m,n>k$ יתקיים ${\Big |}a_{m}-a_{n}{\Big |}<\varepsilon$ הוכחה: כיוון אחד נתון - $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ צ"ל - לכל $\varepsilon >0$ קיים $k$ כך שלכל $m,n>k$ יתקיים ${\Big |}a_{m}-a_{n}{\Big |}<\varepsilon$ $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ אזי לכל $\varepsilon '>0$ , ובפרט עבור $\varepsilon '={\frac {\varepsilon }{2}}$ קיים $k$ כך שלכל $n>k$ מתקיים ${\Big |}a_{n}-L{\Big |}<\varepsilon '$ . אזי לכל $n_{1},n_{2}>k$ מתקיים ${\Big |}a_{m}-a_{n}{\Big |}={\Big |}a_{m}-L+L-a_{n}{\Big |}\leq {\Big |}a_{m}-L{\Big |}+{\Big |}a_{n}-L{\Big |}<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon$ כיוון שני פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

התבדרות של סדרה

אם נרצה להוכיח כי סדרה היא מתבדרת, כלומר אין לה גבול, נצטרך להוכיח את הטענה הבאה:

לכל $L$, קיים $\varepsilon$ שעבורו לכל $k$ קיים מספר $n>k$ המקיים $|a_{n}-L|>\varepsilon$.

הטענה שקולה לטענה: לא קיים מספר $L$ המקיים את תנאי הגבול, ולכן הסדרה מתבדרת.

דרך נוספת להוכיח כי סדרה היא מתבדרת, היא להוכיח כי היא אינה חסומה. אם הסדרה אינה חסומה, אז לכל $\varepsilon$, קיימים אינסוף איברים של הסדרה, המקיימים $a_{n}<L-\varepsilon$ או $a_{n}>L+\varepsilon$, שאם לא כן, היינו בודקים מה האיבר הכי גדול (או קטן) מבין המספר הסופי של איברים הנמצאים מחוץ לסדרה, וקובעים אותו כחסם.

חשוב להדגיש כי אם סדרה אינה חסומה אז אין לה גבול, אבל אם סדרה חסומה לא בהכרח יש לה גבול. נתבונן למשל בסדרה $\left\{(-1)^{n}\right\}_{0}^{\infty }$. נקבל כי היא חסומה (כל איברי הסדרה קטנים או שווים ל1 וגדולים או שווים ל0) אך כמו שכבר הוכחנו, אין לה גבול.

-

הגדרת הגבול

-