חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/מספרים רציונליים ואי-רציונליים

חשבון אינפיניטסימלי

ניזכר בהגדרת קבוצת המספרים הרציונליים: $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {p}{q}}:p,q\in \mathbb {Z} ,q\neq 0\right\}$ . כזכור, מספר יקרא "רציונלי" אם הוא שייך לקבוצה זו.

הגדרה: עבור מספרים שלמים $n,a$ , נגיד כי "$n$ מחלק את $a$", אם קיים מספר שלם $k$ המקיים $a=kn$ . סימון: $n|a$ .

כעת נכתוב שוב את ההגדרה, בכתיב של תורת הקבוצות:

$n|a\iff \exists k\in \mathbb {Z} :a=kn$

הגדרה: מספרים זרים: נתונים שני מספרים שלמים $n$ ו- $m$. אם אין להם אף גורם (מחלק) משותף, נגיד שהם זרים. כלומר, אם: $(k|m\land k|n)\Rightarrow k=1$ .

הגדרה: כידוע, ההצגה של מספר רציונלי היא לא יחידה, למשל: ${\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}={\frac {30}{60}}$ וכו'. לכן, נולד הצורך בהגדרת שבר מצומצם: המספר ${\frac {p}{q}}$ (עבור $p,q$ שלמים ו- $q\neq 0$) יקרא שבר מצומצם, אם $p,q$ מספרים זרים.

טענה: 2√ אינו רציונלי

הקדמה

הגדרה: מספר $x$ יקרא אי־רציונלי אם $x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$ . במילים אחרות, אם לא קיימים $p,q\in \mathbb {Z}$ עבורם $x={\frac {p}{q}}$ . טענה זו נראית אולי סתמית למדי במבט ראשון, אך למעשה חשיבותה עצומה. שכן, עד כה הסברנו אמנם מהו מספר שאינו רציונלי, אך לא הראינו שקיים כזה.

האגדה מספרת על כת הפיתגוראים ביוון העתיקה, שהאמינו במספרים ועבדו אותם. המספרים היו, בעיניהם, מושלמים. יום אחד, גילה אחד מתלמידיו של פיתגורס כי קיים מספר שאינו רציונלי, הלא הוא ${\sqrt {2}}$ ידידינו. הגילוי חולל סערה גדולה, שהרי כיצד ייתכן שבין המספרים המושלמים, שהיו שקולים לאלילים, קיים מספר שאינו מושלם, כלומר אינו רציונלי? באורח פלא, זמן קצר לאחר תגלית זו נטרפה ספינתו של המגלה, ומבחינת הפיתגוראים היתה זו הוכחה לכך שהאלילים נקמו את נקמתם. זאת, כמובן, אם מאמינים שהספינה אכן נטרפה בים דרך מקרה... ונחזור למתמטיקה.

טענה: המספר ${\sqrt {2}}$ אינו רציונלי, כלומר ${\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q}$ .

הוכחה: (לשם כך ניעזר בטענת העזר):

למת עזר: n² זוגי, אם ורק אם n זוגי

הוכחת הלמה:

יהא $n$ מספר זוגי כלשהו, אז נוכל לרשום אותו באופן הבא: $n=2k$ כאשר $k\in \mathbb {Z}$ . ואז $n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}$ , וכמובן $4k^{2}$ הוא מספר זוגי.

יהא כעת $n$ מספר אי־זוגי כלשהו. אז נוכל לרשום אותו באופן הבא: $n=2k+1$ כאשר $k\in \mathbb {Z}$ . ואז נקבל:

$n^{2}=(2k+1)^{2}=\underbrace {4k^{2}} _{(*)}+\underbrace {4k} _{(*)}+1=(**)$

כל אחד מהביטויים (*) הוא זוגי, לכן סכומם זוגי. נוסיף להם 1 ונקבל שהביטוי (**) הוא אי־זוגי.

לכן האפשרות היחידה עבור מספר $n^{2}$ כלשהו להיות זוגי, הוא אם $n$ עצמו זוגי. ▪

הוכחת הטענה

הוכחה: נניח בשלילה כי ${\sqrt {2}}\in \mathbb {Q}$ , כלומר רציונלי. לכן ניתן לכתוב ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$ עבור $m,n\in \mathbb {Z}$ שלמים זרים כלשהם.

נעלה כעת את הביטוי בריבוע ונקבל

${\begin{matrix}2=\left({\dfrac {m}{n}}\right)^{2}\\2={\dfrac {m^{2}}{n^{2}}}\\2n^{2}=m^{2}\end{matrix}}$

לכן לפי הלמה הנ"ל נוכל לכתוב $m=2p$ עבור $p\in \mathbb {Z}$ . מכאן

${\begin{matrix}2n^{2}=(2p)^{2}\\2n^{2}=4p^{2}\\n^{2}=2p^{2}\end{matrix}}$

לכן לפי הלמה הנ"ל נוכל גם לכתוב $n=2q$ עבור $q\in \mathbb {Z}$ . מכאן

${\begin{matrix}(2q)^{2}=2p^{2}\\4q^{2}=2p^{2}\\2q^{2}=p^{2}\end{matrix}}$

מכאן $m,n$ זוגיים בניגוד להנחה הראשונה כי שניהם זרים. סתירה!

לכן ${\sqrt {2}}$ אינו מספר רציונלי. $\blacksquare$

הקבוצות ℚ,ℝ: תכונות והבדלים

הקדמה

כזכור, $\mathbb {Q}$ הנה קבוצת המספרים הרציונליים, ו- $\mathbb {R}$ הנה קבוצת המספרים הממשיים, או "כל המספרים". נגדיר כעת את קבוצת המספרים האי-רציונלים: $\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} =\{x|x\in \mathbb {R} \wedge x\not \in \mathbb {Q} \}$. אז כמו שהוכחנו למעלה, ${\sqrt {2}}$ שייך לקבוצה זו, כלומר ${\sqrt {2}}\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$ .
הגדרה: פונקצית הערך השלם $[x]$ = המספר השלם הגדול ביותר שקטן או שווה למספר $x$ . יש המסמנים: $\lfloor x\rfloor$ , על-מנת להדגיש את העובדה שמדובר במספר שהוא קטן מ-$\ x$ (או שווה לו).
דוגמאות: ${\Big \lfloor }2.32{\Big \rfloor }=2\ ,{\Big \lfloor }-2.32{\Big \rfloor }=-3\ ,{\Big \lfloor }2.9999{\Big \rfloor }=2\ ,\lfloor 2\rfloor =2\ ,{\Big \lfloor }-5.43{\Big \rfloor }=-6$ .

מתקיים: $\lfloor x\rfloor \leq x\leq {\Big \lfloor }x+1{\Big \rfloor }$ .

משפט: צפיפות המספרים הרציונלים והאי־רציונליים

• משפט: בין כל שני מספרים שונים קיים מספר רציונלי וגם מספר אי-רציונלי.
• למת עזר: נתון $c>0$ כלשהו.

אזי: קיים $n\in \mathbb {N}$ , כך ש- $0<{\frac {1}{n}}<c$ .

טענת הלמה בכתיב מתמטי: $\forall \ (c>0)\in \mathbb {R} \ ,\exists \ n\in \mathbb {N} :0<{\frac {1}{n}}<c$ .

הוכחת הלמה: נתון $c\in \mathbb {R} ^{+}$ כלשהו, ונגדיר עבורו את המספר הבא: $n={\Bigg \lfloor }{\frac {1}{c}}{\Bigg \rfloor }+1$ . נתון $c>0$ , לכן ${\Bigg \lfloor }{\frac {1}{c}}{\Bigg \rfloor }+1$ הוא שלם חיובי $n\in \mathbb {N} \Leftarrow$ .
מתקיים: ${\frac {1}{n}}<c\ \Leftarrow \ {\frac {1}{c}}<n\ \Leftarrow \ {\frac {1}{c}}<{\Bigg \lfloor }{\frac {1}{c}}{\Bigg \rfloor }+1=n$ .

נזכור ש- $c$ היה מספר חיובי כלשהו, לכן קיבלנו שלכל $c$ כנ"ל קיים $n\in \mathbb {N}$ כנדרש, והטענה הוכחה. ▪

נעבור כעת להוכחת המשפט:

נתונים לנו שני מספרים $a,b$ כך ש- $a<b$ , ונוכיח שקיים ביניהם גם מספר רציונלי וגם מספר אי-רציונלי:
נבחר $n\in \mathbb {R}$ המקיים: $0<{\frac {1}{n}}<b-a$ (קיים כזה לפי הלמה).

נבחר $m\in \mathbb {Z}$, כך ש- $m$ הוא השלם הקטן ביותר המקיים: $a<{\frac {m}{n}}$ (*), כלומר כך שמתקיים: ${\frac {m-1}{n}}<=a<{\frac {m}{n}}$ .

ונרשום: ${\frac {m}{n}}={\frac {m}{n}}-{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}={\frac {m-1}{n}}+{\frac {1}{n}}$ .

מתקיים: $\left\{{\begin{matrix}{\frac {m-1}{n}}<a\\{\frac {1}{n}}<b-a\end{matrix}}\right.\Rightarrow {\frac {m-1}{n}}+{\frac {1}{n}}<a+(b-a)=b\ \Rightarrow \ {\frac {m}{n}}<b$

(ביחד עם (*) מתחילת ההוכחה) $a<{\frac {m}{n}}<b\Leftarrow$ ומצאנו מספר רציונלי כנדרש.

על-מנת למצוא מספר אי-רציונלי נחזור על התהליך, רק עם ${\frac {\sqrt {2}}{n}}$ במקום ${\frac {1}{n}}$ :
נבחר $n$ כך שיתקיים: $0<{\frac {\sqrt {2}}{n}}<b-a$ . קיים $n$ כזה, משום שלפי הלמה קיים $n$ המקיים $0<{\frac {1}{n}}<c$ לכל $c$, לכן גם עבור $c={\frac {b-a}{\sqrt {2}}}$ . ואז: $0<{\frac {\sqrt {2}}{n}}<{b-a}\ \Leftarrow \ 0<{\frac {1}{n}}<{\frac {b-a}{\sqrt {2}}}$ .

ושוב: נבחר $m\in \mathbb {N}$ כך ש- ${\frac {{\sqrt {2}}(m-1)}{n}}<a<{\frac {{\sqrt {2}}m}{n}}$ וכו'... והטענה הוכחה. $\blacksquare$

הערות ותוספות

הערות:

• הציור המצורף להוכחה, כמו גם הציור שבהוכחת הלמה, נראים לכאורה פשוטים, ועל פניו אין בהם צורך. עם זאת, הניסיון מלמד כי גם במקרים בהם הציורים נראים פשוטים, עדיין מוטב להשתמש בהם על-מנת להגיע להבנה טובה יותר של החומר. הדבר חשוב במיוחד בהוכחות. בכלל, הוכחות הן לב-ליבה של המתמטיקה, ומי שמבין אותן על בורין ידע מתמטיקה היטב.
• נשים לב, שבניסוח המשפט למעלה כתוב "בין כל שני מספרים שונים", ואילו בהוכחה עצמה נתנו להם שמות ($a$ ו- $b$), ואף טענו ש- $a<b$ . על סמך מה טענו זאת?

הבה נבדוק: נניח שהיינו חוזרים על ההוכחה עבור $b<a$ . האם מהלך ההוכחה היה שונה? האם המסקנה (שהמשפט אכן מתקיים) היה שונה? התשובה לכך היא לא ולא. ומדוע? משום שבמקרה זה, $a$ ו- $b$ הם מספרים כללים כלשהם, ולא הוטלו עליהם כל הגבלות. לכן, מותר לנו להניח ש- $a<b$ , והנחה זו אינה גורעת מכלליות המספרים.

במקרה כזה, נהוג לכתוב: "נניח בלי הגבלת הכלליות ש- $a<b$" , או בקיצור - בה"כ. ביטוי זה משמש תמיד לציין שאנחנו מניחים הנחה נוספת מבלי שנקטין את קבוצת המקרים שבהם אנחנו מטפלים.

• דוגמא נוספת לשימוש בביטוי בה"כ: נניח שנתונה לנו קבוצה של מספרים $\{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}\}$ , וידוע לנו שאחד מה- $x$-ים (כלומר מהמספרים) הוא זוגי. אז ברור שאין שום חשיבות לאינדקס של אותו ה- $x$ (זה יכול להיות $x_{1},x_{2},x_{17},x_{225}$ וכדומה). לכן, במקרה זה מותר לנו לכתוב "נניח בה"כ ש- $x_{1}$ זוגי".

הגדרה: נתונות שתי קבוצות מספרים כלשהן $A,B$. קבוצה $A$ תקרא "צפופה (dense) ב- $B$" , אם בין כל שניים מאברי $B$ קיים אבר השייך לקבוצה $A$ .

מסקנה: המספרים הרציונלים/האי-רציונלים צפופים (dense) ב- $\mathbb {R}$ .

מסקנה מהמשפט: בין כל שני מספרים שונים כלשהם, קיימים אינסוף מספרים רציונלים ואינסוף מספרים אי-רציונלים.