חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קטעים

חשבון אינפיניטסימלי

נתונים $a,b\in \mathbb {R} :a\leq b$ . אז נוכל להגדיר בעזרתם את הקטעים הבאים:

• קטע פתוח: $(a,b)=\{x\in \mathbb {R} |a<x<b\}$ , כלומר כל ה- $x$-ים ב- $\mathbb {R}$ (כל המספרים הממשיים המקיימים את התנאי) הגדולים ממש מ- $a$ והקטנים ממש מ- $b$ .
• קטע סגור: $[a,b]=\{x\in \mathbb {R} |a\leq x\leq b\}$ , כלומר כל ה- $x$-ים ב- $\mathbb {R}$ הגדולים מ- $a$ או שווים לו והקטנים מ- $b$ או שווים לו.
• קטעים חצי-פתוחים וחצי-סגורים:

$(a,b]=\{x\in \mathbb {R} |a<x\leq b\}\ ,\ [a,b)=\{x\in \mathbb {R} |a\leq x<b\}$

• בצורה דומה נסמן קרניים:

$[a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} |x\geq a\}\ ,\ (a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} |x>a\}$

$(-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} |x<b\}\ ,\ (-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} |x\leq b\}$

בכל ההגדרות הללו, כפי שנראה בהמשך, ישנה חשיבות רבה להבחנה בין $<$ ו- $\leq$ .

• דוגמאות חשובות:

$[a,a]=a\ ,\ (a,a)=\varnothing \ ,\ (-\infty ,\infty )=\mathbb {R}$ .

הלמה של קנטור

משפט חשוב בנושא קטעים הוא הלמה של קנטור (מהמילה Lemma). הלמה אומרת:
תהי סדרה אינסופית של קטעים סגורים מהצורה $[a_{n},b_{n}]$ כך ש- $\forall \ n\in \mathbb {N} :a_{n}<a_{n+1}<b_{n+1}<b_{n}$ אזי $\exists \ c\in \mathbb {R} :\bigcap _{n=1}^{\infty }[a_{n},b_{n}]=\{c\}$ .
כלומר, אם ניקח אינסוף קטעים סגורים המוכלים אחד בשני (ואף קטע לא שווה לקודמו), אז קיימת נקודה שנמצאת בחיתוך של כל הקטעים והיא הנקודה היחידה.