חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/פעולות אריתמטיות על קבוצות

חשבון אינפיניטסימלי











איחוד (Unification)

עריכה

נתונות הקבוצות   . האיחוד ביניהן יסומן כך:

 

כלומר הקבוצה   מורכבת מכל האברים בקבוצה   ומכל האברים בקבוצה   .

  • נשים לב לשימוש בכַּמָּת "או": מספיק שאבר יקיים רק אחד מהתנאים (במקרה שלנו: מספיק שאבר ישתייך רק לאחת מהקבוצות   או  ) על־מנת להיות בקבוצה   .
  • ניתן להגדיר איחוד של מספר קבוצות:   וכו'. ואז, הקבוצה החדשה תכיל את כל האברים של כל הקבוצות.
  • אם   קבוצת אינדקסים (למשל: קבוצה עם   אינדקסים), נוכל להגדיר איחוד בין הקבוצות   (כלומר   עם אינדקס  ) באופן הבא:
 
  • עבור   מתקיים:   וגם   .
  • לכל קבוצה   מתקיים:
 
  • דוגמא: נתון   . אזי   .
  • דוגמא נוספת, כמובטח למעלה: את קבוצת המספרים השלמים   נוכל לכתוב באופן הבא, במונחים של איחוד קבוצות:   , כאשר   פירושו:   .

חיתוך (Intersection)

עריכה

נתונות הקבוצות   . החיתוך ביניהן יסומן כך:

 

כלומר הקבוצה   מורכבת מהאברים שנמצאים גם בקבוצה   וגם בקבוצה   .

  • נשים לב לשימוש בכַּמָּת "וגם": על אבר כלשהו להשתייך הן לקבוצה   והן לקבוצה   על־מנת להיות בקבוצה   .
  • ניתן להגדיר חיתוך של מספר קבוצות:   . ואז, הקבוצה החדשה תכיל רק את האברים המשותפים לכל הקבוצות.
  • אם   קבוצת אינדקסים (למשל: קבוצה עם   אינדקסים), נוכל להגדיר חיתוך בין הקבוצות   (כלומר   עם אינדקס  ) באופן הבא:
 
  • עבור   מתקיים:   וגם   .
  • לכל קבוצה   מתקיים:
 
  • דוגמא: נתון   . אזי   .

חיסור בין קבוצות

עריכה

לכל שתי קבוצות   נוכל להגדיר את פעולת החיסור באופן הבא:   כלומר, הקבוצה   מכילה את כל אברי   שאינם נמצאים בקבוצה   .

  • עבור   , מתקיים:   .
  • לכל קבוצה   , מתקיים:   .
  • דוגמא: נתון   . אזי   .
  • חשוב: לא להתבלבל בין סימן חיסור הקבוצות   לבין הסימן   (שמשמש, לרוב, לסימון חילוק, או בקורסים אחרים לסימון מחלקות שקילות)!!! המשמעות של כל אחד מהסימנים שונה לחלוטין!
  • שימו לב, שבניגוד לסימנים שראינו עד כה, כאן הסדר כן משנה. כלומר, מתקיים:   , וכן   . לעומת זאת, לרוב   .

שוויון בין קבוצות

עריכה

מאחר והגדרנו קבוצה כאוסף של אברים, אנו נבדיל בין הקבוצות לפי האברים שלהן. כלומר, הביטוי " " ייכתב באופן הבא:   .

  • דוגמא חשובה: נתונות הקבוצות   . אזי:   . (ודאו שהנכם מבינים מדוע)
  • לכל קבוצה   מתקיים:   (תכונת הרפלקסיביות). ניתן לכתוב תכונה זו גם באופן הבא:   .
  • תכונת הטרנזיטיביות:   . תכונה זו, כמו גם התכונה הקודמת שצוינה, הנה ברורה ודומה כי מיותר לציינה. לדברים שהם ברורים קוראים במתמטיקה "דברים טריוויאלים".


הפרק הקודם:
'
מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות
תרגילים
הפרק הבא:
קטעים