מתמטיקה תיכונית/הסתברות מותנית

מתמטיקה תיכונית/הסתברות

מבוא למה לקרוא את הספר הזה? מהי הסתברות ומהי סטטיסטיקה? תולדות הסטטיסטיקה וההסתברות הסתברות קלאסית הקדמה מושגי יסוד בהסתברות הגדרת פונקציית ההסתברות פעולות במאורעות חישוב פונקציית ההסתברות עבור מאורעות מורכבים ניסוי מקרי מרובה שלבים מרחב הסתברות סופי תלות, מאורעות תלויים ובלתי תלויים הסתברות מותנית חוק בייס מקדם בינומי התפלגות בינומית העשרה ומעוררי עניין בחינות הבגרות השאלונים הרלבנטים הם לחמש יחידות, שאלון 806 לארבע יחידות, שאלון 804 לשלוש יחידות, שאלון 801 מקורות עזר נוספים

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו בהנחה שמאורע אחר ארע.

הגדרה

הגדרה: הסתברות מותנית יהיו $A,B$ שני מאורעות, כאשר $\mathbb {P} (B)\neq 0$. ההסתברות המותנית של $A$ בהנתן $B$ היא $\mathbb {P} (A|B)\equiv {\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}$

כפי שאפשר לשים לב, ההסתברות המותנית אינה מוגדרת במקרה $\mathbb {P} (B)=0$. אא"כ יצוין אחרת, נניח במובלע כי זה אינו המצב.

דוגמא

נניח כי בתל־אביב גרים 100 בנים ו־20 בנות, ואילו בחיפה גרים 40 בנים ו־50 בנות. נניח כי בוחרים אדם כלשהו באקראי.

• מה ההסתברות כי בחרנו בבת?
  • ישנן 70 בנות מתוך 210 אנשים סה"כ מהם אנו בוחרים אחד, לכן ההסתברות לבחור בת הוא ${\tfrac {70}{210}}$, כלומר שליש.
• מה ההסתברות כי בחרנו בבת, אם ידוע כי האדם הנבחר גר בתל־אביב?
  • כאן ההסתברות מותנית, ונחשב לפי ההגדרות לעיל. המאורע A הוא בחירת בת והמאורע B הוא שנבחר תושב תל־אביב. קל לראות כי $P(A)={\tfrac {1}{3}}$ וכן $P(B)={\tfrac {120}{210}}={\tfrac {4}{7}}$. ההסתברות $P(A\cap B)$ היא ההסתברות להיות בת וגם בתל־אביב – ישנן 20 כאלה (מתוך אוכלוסיה של 210 סה"כ), ולכן $P(A\cap B)={\tfrac {2}{21}}$. כעת נציב בנוסחא לעיל, ונקבל כי ההסתברות לבחור בת בהנתן שהאדם שבחרנו הוא מתל־אביב היא:

$$P(A|B)={\frac {\tfrac {2}{21}}{\tfrac {4}{7}}}={\tfrac {1}{6}}$$

תכונות

המשפט הבא מראה כי כל שלוש התכונות המאפיינות הסתברות, אותן ראינו במודל ההסתברותי, מאפיינות גם הסתברות מותנית.

משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות נניח כי $B$ הוא מאורע כלשהו. אז ההסתברות המותנית של מרחב המדגם שווה 1, או $\mathbb {P} (\Omega |B)=1$. לכל מאורע הסתברות מותנית אי־שלילית $\forall {A\subseteq \Omega }\quad 0\leq \mathbb {P} (A|B)\leq 1$. אדיטיביות: עבור כל שני מאורעות זרים, הסתברות איחודם היא סכום הסתברויותיהן $\forall {A_{1},A_{2}\subseteq \Omega }\ {\text{ s.t. }}\ A_{1}\cap A_{2}=\varnothing \quad \implies \quad \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}|B)=\mathbb {P} (A_{1}|B)+\mathbb {P} (A_{2}|B)$

בתרגיל:הסתברות מותנית היא הסתברות תתבקש להוכיח זאת.

מאותה סיבה, גם שאר התכונות של הסתברות מתקיימות לגבי הסתברות מותנית, כפי שאפשר לראות לדוגמה במשפט הבא.

משפט: הסתברות מותנית של משלים $\mathbb {P} (A^{c}|B)=1-\mathbb {P} (A|B)$

בתרגיל:הסתברות מותנית של משלים תתבקש להוכיח זאת.

הסתברות מותנית של מאורעות בלתי־תלויים

התניה במאורע בלתי־תלוי אינה משנה את ההסתברות:

משפט: אם $A,B$ מאורעות בלתי־תלויים, אז $\mathbb {P} (A|B)=\mathbb {P} (A)$ $\mathbb {P} (A|B^{c})=\mathbb {P} (A)$

הוכחה: $\mathbb {P} (A|B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}={\frac {\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)}{\mathbb {P} (B)}}=\mathbb {P} (A)$

המקרה האקראי הסימטרי

במודל ההסתברותי ראינו שבמקרה מרחב המדגם הסימטרי, הסתברות היא פרופורציה. נראה שהתכונה מתקיימת גם עבור הסתברות מותנית.

נתבונן בתרשים בצד שמאל. לפי ההגדרה, ההסתברות המותנית הנה $\mathbb {P} (A|B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}={\dfrac {\dfrac {|A\cap B|}{|\Omega |}}{\dfrac {|B|}{|\Omega |}}}={\frac {|A\cap B|}{|B|}}$.

כלומר, בהנחה ש־$B$ ארע, אז מדובר בפרופורציה של השטח שמשותף גם ל־$A$, כלומר הפרופורציה של $A$ בהנחה שיש לבחור מתוך $B$.

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: הסתברות מותנית

-

הסתברות מותנית

-