הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים/התפלגות בינומית שלילית

• משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים
  • התפלגות יוניפורמית
  • התפלגות ברנולי
  • התפלגות בינומית
  • התפלגות גאומטרית
  • התפלגות בינומית שלילית
  • התפלגות פואסון

אינטואיטיבית, ההתפלגות מתארת את הסיכוי להכשל בפעם ה-$r$ בניסוי ה-$r+k$ של ניסויי ברנולי (בלתי תלויים), כשלכ"א מהם הצלחה בסיכוי $p$, וכשלון בסיכוי $q=1-p$ (כאן $r$ הוא פרמטר של ההתפלגות).

הגדרה: התפלגות בינומית שלילית (התפלגות פסקל) נניח מ"מ $X$ אשר מקבל ערך $k$ בהסתברות $\mathbb {P} _{X}(k)={k+r-1 \choose k}p^{k}q^{r}$. אז ל-$X$ התפלגות בינומית שלילית. נרשום $X\sim NB(r,p)$.

בינומי שלילי: $\ X\sim NB(p,r)$

פונקצית התפלגות -
פונקצית צפיפות -
פרמטרים	$\ r>0\ ,\ p\in (0,1)$
תומך	$\ k\in \{0,1,...\infty \}$
פונקצית התפלגות	?
פונקצית צפיפות	$\ {k+r-1 \choose k}p^{r}q^{k}=$ $\ ={-r \choose k}p^{r}(-q)^{k}$
תוחלת	$\ {\frac {r}{p}}$
חציון
שונות	$\ r{\frac {q}{p^{2}}}$
פונקציה יוצרת מומנטים	$\ \left({\frac {p}{1-qe^{s}}}\right)^{r}$
פונקציה אופיינית	$\ \left({\frac {p}{1-qe^{is}}}\right)^{r}$

התפלגות פוליה

ההסבר האינטואיטיבי לעיל מתאים רק עבור ערכי $r$ שלמים. באופן אלגברי לחלוטין, אפשר להרחיב את ההגדרה גם עבור ערכי $r$ רציפים.

הגדרה: התפלגות פוליה נניח מ"מ $X$ אשר מקבל ערך $k$ בהסתברות $\mathbb {P} _{X}(k)={\Gamma (k+1) \over k!\Gamma (r)}p^{k}q^{r}$. אז ל-$X$ התפלגות פוליה. גם כאן נרשום $X\sim NB(r,p)$.

כאשר $\Gamma (\cdot )$ היא פונקציית הגאמא. אפשר לראות שכאשר $r$ מקבל ערך שלם, אין הבדל בין שתי הגרסאות.

ראו גם

ערך בוויקיפדיה: התפלגות בינומית שלילית

-

התפלגות בינומית שלילית

-

התוחלת איננה qr/p כפי שכתוב אלא r/p ניתן לשים לב שגרם בערך באנגלית יש סתירה, כתוב שם pr/q