הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים/התפלגות גאומטרית

• משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים
  • התפלגות יוניפורמית
  • התפלגות ברנולי
  • התפלגות בינומית
  • התפלגות גאומטרית
  • התפלגות בינומית שלילית
  • התפלגות פואסון

אינטואיטיבית, ההתפלגות מתארת את הסיכוי להצליח בפעם הראשונה בניסוי ה-$k$ של ניסויי ברנולי (בלתי תלויים), כשלכ"א מהם הצלחה בסיכוי $p$, וכשלון בסיכוי $q=1-p$.

הגדרה: התפלגות גאומטרית נניח מ"מ $X$ אשר מקבל ערך $k$ בהסתברות $\mathbb {P} _{X}(k)=pq^{k-1}$. אז ל-$X$ התפלגות גאומטרית. נרשום $X\sim Geo(n,p)$.

ראינו את החישוב בהסיכוי להצלחה ראשונה בניסוי כלשהו.

גאומטרי: $\ X\sim Geom(p)$

פונקצית התפלגות -
פונקצית צפיפות -
פרמטרים	$\ 0<p\leq 1$
תומך	$\ k\in {0,1,...\infty }$
פונקצית התפלגות	$\ 1-q^{k}$
פונקצית צפיפות	$\ \mathbb {P} _{X}(k)=pq^{k-1}$
תוחלת	$\ 1 \over p$
חציון	$\ 1 \over p$
שונות	$\ q \over p^{2}$
פונקציה יוצרת מומנטים	$\ {\frac {pe^{s}}{1-(1-p)e^{s}}}$
פונקציה אופיינית	$\ {\frac {1-q}{1-qe^{is}}}$

חוסר זיכרון

המשתנה המקרי הגאומטרי הוא המ"מ הבדיד היחיד עם תכונת חוסר הזכרון: אם ההצלחה הראשונה לא ארעה בניסוי בניסוי ה-$n$, אז הסיכוי שהיא תתרחש בפעם הראשונה $k$ ניסויים לאחר מכן, כלומר בפעם הראשונה ב-$n+k$, הוא הסיכוי שההצלחה הראשונה תתרחש בפעם ה-$k$.

הוכחה: נגדיר את $X$ כמספר הפעם הראשונה שבה יש הצלחה. לפי הגדרת הסתברות מותנית,

$\ \mathbb {P} (X=n+k|X>n)={\mathbb {P} (X=n+k\cap X>n) \over \mathbb {P} (X>n)}$

אבל המאורע $X=n+k$ נכלל במאורע $X>n$ ולכן נקבל

$\mathbb {P} (X=n+k|X>n)={\mathbb {P} (X=n+k) \over \mathbb {P} (X>n)}={q^{n+k-1}p \over q^{n}}=q^{k-1}p=\mathbb {P} (x=k)$

ראו גם

ערך בוויקיפדיה: התפלגות גאומטרית

-

התפלגות גאומטרית

-