הסתברות/משתנים מקריים/משתנים מקריים בדידים/התפלגות פואסון

הגדרה

עריכה

אינטואיטיבית, התפלגות זאת היא קירוב של התפלגות בינומית, המופיעה לעתים קרובות בטבע.


הגדרה: התפלגות פואסון

נניח מ"מ   אשר מקבל ערך   בהסתברות

 . אז ל-  פואסון.

נרשום  .

פואסוני:  
פונקצית התפלגות
 
פונקצית צפיפות
 
פרמטרים  
תומך  
פונקצית התפלגות  
פונקצית צפיפות  
תוחלת  
חציון
שונות  
פונקציה יוצרת מומנטים  
פונקציה אופיינית  


מוטיבציה

עריכה

בהתפלגות בינומית, ראינו כי בניסויי ברנולי, הסיכוי להצלחת   ניסויים מתוך  , כאשר הסיכוי להצלחה יחידה הוא  , הנו

 

בעטי הפונקציה הקומבינטורית  , מדובר בפונקציה לא נוחה לשימוש.

 
השוואה בין התפלגות בינומית להתפלגויות פואסון המקרבות אותה.

במציאות, ישנם מצבים רבים בהם   ו-  במידה שמכפלתם,  , היא בינונית בגודלה. במקרים אלה, נראה שאפשר לשערך את הביטוי

 

בתרשים התחתון משמאל לדוגמה, הנקודות השחורות מתארות התפלגות פואסון עם  .

הקו האדום מתאר התפלגות בינומית עם  ,

הקו הכחול מתאר התפלגות בינומית עם  ,

והקו הירוק מתאר התפלגות בינומית עם  ,



משפט: קירוב פואסון

עבור   קבועה, אם

 

אז עבוכ כל   קבוע,

 .


הוכחה: ראשית, מחדו"א, אנו יודעים כי   אז, היות שכאן   במקרה זה, נקבל

 

כעת נשים לב כי


 

כאשר לוקחים את הגבול של כל אחד מ-  האיברים בנפרד (מותר לעשות כך, מפני שמספרם סופי).

מכאן קיבלנו  .

 

דוגמאות

עריכה
  • מספר האלקטרונים הנפלטים בפרק זמן כלשהו מקתודה, מהווה בקירוב טוב מ"מ פואסוני. נגדיר את X כמספר האלקטרונים הנפלטים במשך שעה בעל התפלגות פואסונית עם פרמטר λ=3.
  • מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט אלקטרון אחד בלבד? נשתמש בהגדרת פונקצית ההסתברות הפואסונית:
 
  • מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלט לפחות אלקטרון אחד? נשתמש בשיטת המשלים:
 
  • מהי ההסתברות שבמשך שעה נפלטו לכל היותר 2 אלקטרונים? זהו סכום של מאורעות זרים:
 

ראו גם

עריכה


- התפלגות פואסון -